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<!DOCTYPE html>

<title>Histogramm</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Histogramm</h1>

</header>

</div>

Ein Histogramm (von ἱστός "Mast, Balken"<a href="#cite_note-:0-1">[1]</a>) ist eine grafische Darstellung der <a href="H%C3%A4ufigkeitsverteilung" title="Häufigkeitsverteilung">Häufigkeitsverteilung</a> kardinal <a href="Skalenniveau" title="Skalenniveau">skalierter</a> <a href="Merkmal" title="Merkmal">Merkmale</a>. Es erfordert die Einteilung der Daten in <a href="Klasseneinteilung_(Statistik)" title="Klasseneinteilung (Statistik)">Klassen</a>, die eine konstante oder variable Breite haben können. Es werden direkt nebeneinanderliegende Rechtecke von der Breite der jeweiligen Klasse gezeichnet, deren Flächeninhalte die (relativen oder absoluten) Klassenhäufigkeiten darstellen.<a href="#cite_note-Roenz_S157-2">[2]</a><a href="#cite_note-Wasserman2005-3">[3]</a><a href="#cite_note-Arens2008-4">[4]</a> Die Höhe jedes Rechtecks stellt dann die (relative oder absolute) Häufigkeitsdichte dar, also die (relative oder absolute) Häufigkeit dividiert durch die Breite der entsprechenden Klasse.<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendung">Anwendung</h2></div>

Anwendung finden Histogramme in der <a href="Deskriptive_Statistik" title="Deskriptive Statistik">beschreibenden Statistik</a> und in der <a href="Bildverarbeitung" title="Bildverarbeitung">Bildverarbeitung</a>. Man verwendet Histogramme beispielsweise dann,

<ul><li>wenn man den Verlauf der Häufigkeitsverteilung sehen möchte und nicht nur zusammenfassende Daten wie das <a href="Arithmetisches_Mittel" title="Arithmetisches Mittel">arithmetische Mittel</a> und die <a href="Empirische_Standardabweichung" class="mw-redirect" title="Empirische Standardabweichung">Standardabweichung</a>,</li>

<li>wenn man vermutet, dass mehrere Faktoren einen Prozess beeinflussen, und man diese nachweisen will,</li>

<li>wenn man sinnvolle Spezifikationsgrenzen für einen Prozess definieren möchte.</li></ul>

In der physikalischen Forschung oder angewandten Gebieten (z. B. Analytik) werden gemessene Spektren als Histogramme dargestellt, siehe z. B. <a href="Vielkanalanalysator" title="Vielkanalanalysator">Vielkanalanalysator</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Konstruktion_eines_Histogramms">Konstruktion eines Histogramms</h2></div>

Folgende Schritte sind bei der Konstruktion eines Histogramms nötig:

<ol><li>Wertemenge in Klassen aufteilen (Breite der Rechtecke festlegen)</li>

<li>Absolute/Relative Klassenhäufigkeit bestimmen (Flächeninhalt der Rechtecke festlegen)</li>

<li>Häufigkeitsdichte bestimmen (Höhe der Rechtecke festlegen)</li>

<li>Histogramm grafisch darstellen</li></ol>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Einteilung_in_Klassen">Einteilung in Klassen</h3></div>

Zur Konstruktion eines Histogramms wird der <a href="Zielmenge" title="Zielmenge">Wertebereich</a> der <a href="Stichprobe" title="Stichprobe">Stichprobe</a> in k aneinandergrenzende <a href="Intervall_(Mathematik)" title="Intervall (Mathematik)">Intervalle</a> geteilt, die <a href="Klasseneinteilung_(Statistik)" title="Klasseneinteilung (Statistik)">Klassen</a>.<a href="#cite_note-6">[6]</a> Dabei ist darauf zu achten, dass die Randklassen nicht offen sind. Das heißt, die erste und die letzte Klasse müssen eine untere bzw. obere Grenze besitzen.<a href="#cite_note-7">[7]</a><a href="#cite_note-Roenz_S157-2">[2]</a> Die Klassen müssen nicht gleich breit sein. Allerdings vereinfachen zumindest im Mittelbereich gleich große Klassen die Interpretation. Über jede Klasse wird dann ein Rechteck errichtet, dessen Fläche proportional zur jeweiligen Klassenhäufigkeit ist. Im Histogramm entsprechen diese Klassen der Breite der einzelnen Rechtecke.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bestimmung_der_Klassenhäufigkeit">Bestimmung der Klassenhäufigkeit</h3></div>

Bei der Erstellung eines Histogramms gibt es zwei Vorgehensweisen: Die Klassenhäufigkeit spiegelt entweder einen absoluten oder einen relativen Wert wider. Der absolute Wert entspricht der Anzahl an Werten, die zu einer Klasse gehören. Der relative Wert hingegen drückt aus, wie viel Prozent der Werte einer Klasse angehören. Je nach Anwendungsfall kann sowohl das Arbeiten mit absoluten als auch mit relativen Werten Vorteile mit sich bringen. Im Histogramm entspricht die Klassenhäufigkeit dem Flächeninhalt der Rechtecke.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bestimmung_der_Häufigkeitsdichte">Bestimmung der Häufigkeitsdichte</h3></div>

Da die Fläche des j-ten Rechtecks gleich der <a href="Klasseneinteilung_(Statistik)" title="Klasseneinteilung (Statistik)">Klassenhäufigkeit</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n_{j}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d2c97b31dca4eeefe57123a12e69e6ea73f3dcd2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.304ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n_{j}}" loading="lazy"> ist, errechnet sich die Höhe des Rechtecks, die sogenannte Häufigkeitsdichte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{j}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/614689f15f73ad5b4a5d7fa837a72614202b0d89.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.249ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h_{j}}" loading="lazy">, als Quotient <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n_{j}/d_{j}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{j}/d_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/386d158f133df0b7d782d390a9ebba05a158da4e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:5.586ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle n_{j}/d_{j}}" loading="lazy"> der Klassenhäufigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n_{j}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d2c97b31dca4eeefe57123a12e69e6ea73f3dcd2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.304ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n_{j}}" loading="lazy"> durch die Klassenbreite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d_{j}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3fa3426b07cfa37c76382ddbecfb4c880889657f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.119ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d_{j}}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-8">[8]</a> Dies wird unmittelbar klar, wenn man sich überlegt, dass die Fläche eines <a href="Rechteck" title="Rechteck">Rechtecks</a> das Produkt aus Breite (Klassenbreite) und Höhe (Häufigkeitsdichte) ist. Die Klasse mit der größten Häufigkeitsdichte wird <a href="Modus_(Statistik)" title="Modus (Statistik)">Modalklasse</a> genannt.<a href="#cite_note-Roenz_S250-9">[9]</a> Sind die Klassen gleich breit, so sind Häufigkeitsdichte und absolute bzw. relative Häufigkeiten proportional zueinander. Die Höhen der Rechtecke sind in diesem Fall vergleichbar und (unter Beachtung der Klassenbreite als Proportionalitätsfaktor) als Häufigkeit interpretierbar.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Statistische_Schwankung_der_Klassenhäufigkeit">Statistische Schwankung der Klassenhäufigkeit</h3></div>

Oft werden die ermittelten Klassenhäufigkeiten beim Wiederholen der <a href="Datenerfassung" title="Datenerfassung">Datenerfassung</a> streuen. So stellt sich, beispielsweise bei einer Wahlprognose, die Frage nach der Präzision der erhobenen Zahlen. Die zu erwartende <a href="Binomialverteilung#Wahrscheinlichkeitsfunktion,_Verteilungsfunktion,_Eigenschaften" title="Binomialverteilung">Schwankungsbreite der Klassenhäufigkeit</a> strebt bei unbegrenzt wachsender Anzahl der Klassen gegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {n_{j}}}.}">

<msqrt>

<msub>

</mrow>

</msub>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {n_{j}}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db03cda3a743f21f480d51339b37db34f15a50c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:4.887ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {n_{j}}}.}" loading="lazy">

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Abschätzung_der_Anzahl_der_Klassen">Abschätzung der Anzahl der Klassen</h3></div>

Um ein Histogramm zeichnen zu können, muss eine genügend große Anzahl an Messwerten einen sinnvollen Verlauf ergeben. Eine falsche Einteilung der Klassen kann zu einer Fehlinterpretation des Histogramms führen. Für die Festlegung der Anzahl der Klassen bzw. Rechtecke existieren verschiedene <a href="Faustregel" title="Faustregel">Faustregeln</a>:

<th>Anzahl der Messungen

</th>

<th>Balkenzahl

</th></tr>

<tr>

<td><50

</td>

<td>5 bis 7

</td></tr>

<tr>

<td>50 bis 100

</td>

<td>6 bis 10

</td></tr>

<tr>

<td>100 bis 250

</td>

<td>7 bis 12

</td></tr>

<tr>

<td>>250

</td>

<td>10 bis 20

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Sturges-Regel">Sturges-Regel</h4></div>

Gegebenenfalls kann man die Anzahl der Balken <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> auch nach der Sturges-Regel<a href="#cite_note-10">[10]</a> berechnen:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=1+\log _{2}n\approx 1+3{,}3\cdot \log _{10}n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/973662843131aa4918d48df01c7dd59d827a9cfd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.502ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle k=1+\log _{2}n\approx 1+3{,}3\cdot \log _{10}n}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Sturges-Regel hat den Nachteil, dass sie zum einen die <a href="Streuung_(Statistik)" class="mw-redirect" title="Streuung (Statistik)">Streuung</a> nicht berücksichtigt. Zum anderen wählt sie die Klassenzahl zu klein für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n>200}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n>200}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ecc3a7dc7c6e76855aaa62e1d6f268381105cb7d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.981ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n>200}" loading="lazy"> selbst im Fall einer (idealen) <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">normalverteilten</a> wahren Dichte.<a href="#cite_note-11">[11]</a>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Scott-Regel">Scott-Regel</h4></div>

Alternativ kann die Klassenbreite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" loading="lazy"> mit der Regel nach Scott<a href="#cite_note-12">[12]</a>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mroot>

</mrow>

</mroot>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h={\frac {3{,}49\cdot \sigma }{\sqrt[{3}]{n}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/948dbdf3ed0076828691aafb3742663f22c06336.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:12.417ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle h={\frac {3{,}49\cdot \sigma }{\sqrt[{3}]{n}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Regel nach Scott ist so nur für normalverteilte Daten definiert. Für andere Fälle führte Scott Korrekturfaktoren in Abhängigkeit von <a href="Schiefe_(Statistik)" title="Schiefe (Statistik)">Schiefe</a> und <a href="W%C3%B6lbung_(Statistik)" title="Wölbung (Statistik)">Exzess</a> ein.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Freedman-Regel">Freedman-Regel</h4></div>

Nach <a href="David_A._Freedman_(Statistiker)" title="David A. Freedman (Statistiker)">Freedman</a> und <a href="Persi_Diaconis" title="Persi Diaconis">Diaconis</a><a href="#cite_note-13">[13]</a>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mroot>

</mrow>

</mroot>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h={\frac {2\cdot (Q_{3}-Q_{1})}{\sqrt[{3}]{n}}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2741333b1e2f375854a2a68ef1717f4205eeba81.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:19.197ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle h={\frac {2\cdot (Q_{3}-Q_{1})}{\sqrt[{3}]{n}}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"> die <a href="Empirische_Standardabweichung" class="mw-redirect" title="Empirische Standardabweichung">Standardabweichung</a>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> die <a href="Stichprobenumfang" class="mw-redirect" title="Stichprobenumfang">Anzahl der Messungen</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q_{3}-Q_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q_{3}-Q_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bfa30afc07075772369c6b3c3b2996a8c36439f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.626ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q_{3}-Q_{1}}" loading="lazy"> der <a href="Interquartilsabstand_(Deskriptive_Statistik)" class="mw-redirect" title="Interquartilsabstand (Deskriptive Statistik)">Interquartilsabstand</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

Ein Histogramm ist eine flächenproportionale Darstellung der vorliegenden Häufigkeiten. Die Fläche eines Rechtecks entspricht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\cdot f(x_{j})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\cdot f(x_{j})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ad3a35c5f14339c3f05c344c5723d488d364856.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.013ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle c\cdot f(x_{j})}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{j})\,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{j})\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84e9516e35d4949fd1dfef7df65bd6b30f579956.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:5.714ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f(x_{j})\,}" loading="lazy"> die relative <a href="Klasseneinteilung_(Statistik)" title="Klasseneinteilung (Statistik)">Klassenhäufigkeit</a> der Klasse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j\,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30f268d4be31700461b9f20cabb0724899ad5d27.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:1.372ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j\,}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\,}</annotation>

</semantics>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8573e7d95140b0d4068258d8162e189563baee6b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.394ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c\,}" loading="lazy"> gleich dem Stichprobenumfang, das heißt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c=n\,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=n\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5fb57d0cd3a71d286939de7a2a30e5014c0d77a3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.887ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c=n\,}" loading="lazy">, so ist die Fläche eines jeden Rechtecks gleich der <a href="Absolute_H%C3%A4ufigkeit" title="Absolute Häufigkeit">absoluten</a> Klassenhäufigkeit. Das Histogramm wird in diesem Fall, in dem die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke dem Stichprobenumfang <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> entspricht, absolut genannt.<a href="#cite_note-Bortz2005-14">[14]</a> Werden zur Konstruktion des Histogramms exakt die <a href="Relative_H%C3%A4ufigkeit" title="Relative Häufigkeit">relativen</a> Klassenhäufigkeiten verwendet (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c=1\,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=1\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89a433775a12181707c7fd0581f8b0c4085df90d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.655ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c=1\,}" loading="lazy">), wird das Histogramm als relativ oder normiert bezeichnet. Da die Flächeninhalte der Rechtecke nun den relativen Klassenhäufigkeiten entsprechen, summieren sich die Flächeninhalte in diesem Fall zu 1.<a href="#cite_note-Bortz2005-14">[14]</a>

Bei einem Histogramm grenzen die Rechtecke im Gegensatz zum <a href="S%C3%A4ulendiagramm" title="Säulendiagramm">Säulendiagramm</a> direkt aneinander, das heißt, es existieren keine Abstände zwischen ihnen. Denn die Breite der Rechtecke entspricht den gebildeten Intervallen (Klassen), die ebenfalls direkt aneinandergrenzen.

Im Unterschied zum Säulendiagramm muss bei einem Histogramm die x-Achse immer eine Skala sein, deren Werte geordnet und gleichabständig sind.

Drei Kennzeichen eines Histogramms können zur Beurteilung der dargestellten Verteilung dienen:

<ul><li>der allgemeine Kurvenverlauf</li>

<li>die <a href="Streuung_(Statistik)" class="mw-redirect" title="Streuung (Statistik)">Streuung</a></li>

<li>die Zentrierung (<a href="Lageparameter_(deskriptive_Statistik)" title="Lageparameter (deskriptive Statistik)">Lageparameter (deskriptive Statistik)</a>)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiel_für_ein_Histogramm">Beispiel für ein Histogramm</h2></div>

Es liegen für 32 europäische Länder als Indikator für den Wohlstand die Zahlen der PKWs pro 1000 Einwohner vor. Die Werte werden wie folgt in Klassen eingeteilt:

<td>Klasse j</td>

<td>Anzahl der Länder (absolute Klassenhäufigkeit) nj</td>

<td>Klassenbreite dj</td>

<td>Rechteckhöhe (Häufigkeitsdichte) hj = nj/dj

</td></tr>

<tr>

<td>0,025

</td></tr>

<tr>

<td>0,06

</td></tr>

<tr>

<td>0,06

</td></tr>

<tr>

<td>0,09

</td></tr>

<tr>

<td>0,03

</td></tr>

<tr>

<td>Summe Σ</td>

<td>

</td></tr></tbody></table>

Mit Hilfe der Tabelle erhält man das folgende Histogramm:

Auf der <a href="Abszisse" class="mw-redirect" title="Abszisse">Abszisse</a> werden die Klassengrenzen und Klassenmittel abgetragen. In der Regel gibt man bei einem Histogramm die <a href="Ordinate" class="mw-redirect" title="Ordinate">Ordinate</a> nicht an, weil sonst die Gefahr besteht, die Höhe eines Rechtecks, anstatt seiner Fläche, als Häufigkeit zu interpretieren. Sind dagegen alle Klassen gleich breit, kann man für die Höhe der Rechtecke die Klassenhäufigkeit nj verwenden und diese auf der Ordinate abtragen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Average-Shifted-Histogramm">Average-Shifted-Histogramm</h2></div>

Das linke Bild zeigt vier Histogramme für den gleichen Datensatz. Zwar sind die Klassenbreiten in jedem Histogramm gleich 2,0, jedoch verschiebt sich der Beginn der ersten Klasse (-6.0, -5.5, -5.0 und -4.5). Obwohl jeweils der gleiche Datensatz benutzt wurde, kommen doch unterschiedliche Histogramme heraus.

Neben dem Problem der Klassenanzahl bzw. Klassenbreite spielt also auch die Wahl der (linken) Klassengrenzen eine Rolle. David Scott hat daher das Average-Shifted-Histogramm vorgeschlagen.<a href="#cite_note-15">[15]</a>

Im rechten Bild wurden die vier Histogramme überlagert und dann für jeden Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> die Histogrammhöhen gemittelt. Dies ergibt das Average-Shifted-Histogramm. Üblicherweise werden deutlich mehr als vier Histogramme überlagert und gemittelt.

Das Average-Shifted-Histogramm löst das Problem der Wahl der (linken) Klassengrenzen, jedoch nicht das Problem der Wahl der optimalen Klassenbreiten.

Einzuordnen ist das Average-Shifted-Histogramm zwischen dem Histogramm und der <a href="Kerndichtesch%C3%A4tzung" class="mw-redirect" title="Kerndichteschätzung">Kerndichteschätzung</a>.

<div class="gallerytext">Vier Histogramme für den gleichen Datensatz. Die Klassenbreiten sind in jedem Histogramm gleich 2,0. Lediglich der Beginn der ersten Klasse verschiebt sich von -6,0 über -5,5 und -5,0 auf -4,5.</div>

</li>

<div class="gallerytext">Average-Shifted-Histogramm, berechnet aus den Überlagerungen der vier Einzelhistogramme.</div>

</li>

</ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Histogramm_in_der_Bildverarbeitung">Histogramm in der Bildverarbeitung</h2></div>

In der digitalen <a href="Bildverarbeitung" title="Bildverarbeitung">Bildverarbeitung</a> versteht man unter einem Histogramm die statistische Häufigkeit der <a href="Grauwert" title="Grauwert">Grauwerte</a> bzw. der <a href="Farbwert" title="Farbwert">Farbwerte</a> in einem Bild. Das Histogramm eines Bildes erlaubt eine Aussage über die vorkommenden Grau- bzw. Farbwerte und über <a href="Kontrastumfang" class="mw-redirect" title="Kontrastumfang">Kontrastumfang</a> und <a href="Helligkeit" title="Helligkeit">Helligkeit</a> des Bildes. In einem farbigen Bild kann entweder ein Histogramm über alle möglichen Farben oder Histogramme über die einzelnen Farbkanäle erstellt werden. Letzteres ist meist sinnvoller, da die meisten Verfahren auf Grauwertbildern basieren und so die sofortige Weiterverarbeitung möglich ist. Die Anzahl der Farbkanäle in einem Bild ist abhängig vom Modus, das heißt pro Farbauszug gibt es einen Kanal. Daher haben <a href="CMYK" class="mw-redirect" title="CMYK">CMYK</a>-Bilder vier Farbkanäle, <a href="RGB-Farbraum" title="RGB-Farbraum">RGB</a>-Farbbilder nur drei.

Ein Histogramm <a href="Visualisierung" title="Visualisierung">visualisiert</a> die Verteilung der <a href="Helligkeit" title="Helligkeit">Helligkeitswerte</a> eines Bildes. Über einer Achse, die den Wertebereich der Farbwerte darstellt, sind als Balken die einzelnen Häufigkeiten des Vorkommens der Farbwerte aufgetragen. Je höher der Balken über einem Farbwert ist, desto häufiger kommt dieser Farbwert im Bild vor.<a href="#cite_note-16">[16]</a>

Histogramme findet man häufig im Bereich der digitalen Fotografie. Gut ausgestattete <a href="Digitaler_Fotoapparat" class="mw-redirect" title="Digitaler Fotoapparat">digitale Fotoapparate</a> zeigen auf dem Display während der Motivsuche als Hilfe für ein ausgewogeneres Bild in Echtzeit oder für bereits gespeicherte Aufnahmen ein Histogramm an. Das Betrachten eines Histogramms erlaubt es dem Fotografen, das Ergebnis oder das geplante Foto genauer zu kontrollieren, als es das Kameradisplay erlaubt. Zum Beispiel kann man typische Fehler wie Unter- und Überbelichtung erkennen und diese durch entsprechende <a href="Belichtungskorrektur" class="mw-redirect" title="Belichtungskorrektur">Belichtungskorrektur</a> beheben. Da die Helligkeit und vor allem der Kontrastumfang des Bildes bei der späteren Bearbeitung und Verwertung eine große Rolle spielen, lohnt es sich beim Fotografieren, auf die Histogrammanzeige zu achten.

Eine klassische Anwendung von Histogrammen in der Bildverarbeitung liegt in der <a href="Punktoperator_(Bildverarbeitung)#Histogrammäqualisation" title="Punktoperator (Bildverarbeitung)">Egalisierung</a> (Äqualisierung, <a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> equalizing), bei der das Histogramm mit einer Egalisierungsfunktion transformiert wird. Dadurch kann eine bessere Verteilung der Farbgebung erreicht werden, die über eine bloße Kontrastverstärkung hinausgeht.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel_High-key-_und_Low-key-Fotografie">Beispiel High-key- und Low-key-Fotografie</h3></div>

Bei <a href="Low-key-Fotografie" title="Low-key-Fotografie">Low-key</a>-Aufnahmen konzentrieren sich die Details in den niedrigen <a href="Tonwert" title="Tonwert">Tonwerten</a>. Der Ausschlag ist demnach im unteren Bereich am stärksten. (Es liegen viele Pixel mit niedrigen Tonwerten vor.)

Für <a href="High-key-Fotografie" title="High-key-Fotografie">High-key</a>-Aufnahmen gilt das Gegenteil, also viele Pixel mit hohen Tonwerten und kaum ein Ausschlag in den niedrigen Tonwerten.

Bei überbelichteten Aufnahmen „schmiegt“ sich die Wahrscheinlichkeitskurve an der rechten (hellen) Seite an und das Maximum wird möglicherweise gar nicht erreicht. Es werden also nicht alle hellen Details wiedergegeben, da ein bestimmter Helligkeitsbereich abgeschnitten ist und der darunterliegende als weiß definiert wird.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

Der genaue Ursprung von Histogrammen ist unklar. Vermutlich haben sie jedoch erst nach den Säulendiagrammen Einzug in die Literatur gefunden. Das erste bekannte Säulendiagramm tauchte 1786 in der Arbeit The Commercial and Political Atlas des schottischen Ingenieurs und Volkswirts <a href="William_Playfair" title="William Playfair">William Playfair</a> auf.<a href="#cite_note-17">[17]</a> Im Jahr 1833 verwendete der Franzose <a href="Andr%C3%A9-Michel_Guerry" title="André-Michel Guerry">André-Michel Guerry</a> Histogramme zur Visualisierung von Daten.<a href="#cite_note-18">[18]</a> Weiterentwickelt wurde das Histogramm durch den belgischen Statistiker und Sozialwissenschaftler <a href="Adolphe_Quetelet" title="Adolphe Quetelet">Adolphe Quetelet</a> um 1846.<a href="#cite_note-19">[19]</a><a href="#cite_note-20">[20]</a><a href="#cite_note-21">[21]</a>

Der Begriff Histogramm wird oft fälschlich auf historical diagram zurückgeführt<a href="#cite_note-22">[22]</a>, wurde jedoch vom englischen Mathematiker <a href="Karl_Pearson" title="Karl Pearson">Karl Pearson</a> als Begriff für vertikale Balkendiagramme gewählt (von altgriechisch ἱστός istós „Mast, Balken“). Pearson war des Altgriechischen mächtig, und wählte bewusst einen Begriff für vertikale Balken für Häufigkeitsverteilungsdiagramme, da das Vertikale seiner Ansicht nach für die Anschauung psychologisch vorteilhaft sei.<a href="#cite_note-:0-1">[1]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="H%C3%A4ufigkeitspolygon" title="Häufigkeitspolygon">Häufigkeitspolygon</a></li>

<li><a href="Jenks-Caspall-Algorithmus" title="Jenks-Caspall-Algorithmus">Jenks-Caspall-Algorithmus</a></li>

<li><a href="Kerndichtesch%C3%A4tzer" title="Kerndichteschätzer">Kerndichteschätzer</a></li>

<li><a href="Wahrscheinlichkeitsverteilung" class="mw-redirect" title="Wahrscheinlichkeitsverteilung">Wahrscheinlichkeitsverteilung</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Histograms?uselang=de">Commons: Histogramme</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Histogramm" class="extiw external" title="wikt:Histogramm">Wiktionary: Histogramm</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.digitalkamera.de/Fototipp/Was_zeigt_eigentlich_das_Histogramm_/1970.aspx">Weitere Informationen zum Histogramm bei Digitalkameras</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-:0-1">↑ <a href="#cite_ref-:0_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-:0_1-1">b</a> Daniel Riaño Rufilanchas: <cite style="font-style:italic">On the origin of Karl Pearson's term "histogram"</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Estadística Española</cite>. Band 59, Nr. 192, Januar 2017, S. 29–35 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.researchgate.net/publication/363226799_On_the_origin_of_Karl_Pearson's_term_histogram">researchgate.net</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Histogramm&rft.atitle=On+the+origin+of+Karl+Pearson%27s+term+%22histogram%22&rft.au=Daniel+Ria%C3%B1o+Rufilanchas&rft.date=2017-01&rft.genre=journal&rft.issue=192&rft.jtitle=Estad%C3%ADstica+Espa%C3%B1ola&rft.pages=29-35&rft.volume=59" style="display:none">

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<li id="cite_note-Roenz_S157-2">↑ <a href="#cite_ref-Roenz_S157_2-0">a</a> <a href="#cite_ref-Roenz_S157_2-1">b</a> Bernd Rönz, Hans G. Strohe: Lexikon Statistik. Gabler Verlag, 1994, S. 157

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<li id="cite_note-Arens2008-4"><a href="#cite_ref-Arens2008_4-0">↑</a> Arens et al.: Mathematik. Spektrum Akademischer Verlag, 2008, S. 1226

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<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Erhard Cramer, Udo Kamps: <cite style="font-style:italic">Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik: Ein Skript für Studierende der Informatik, der Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften</cite>. 2. Auflage. Springer, 2008, S. 45.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Histogramm&rft.au=Erhard+Cramer%2C+Udo+Kamps&rft.btitle=Grundlagen+der+Wahrscheinlichkeitsrechnung+und+Statistik%3A+Ein+Skript+f%C3%BCr+Studierende+der+Informatik%2C+der+Ingenieur-+und+Wirtschaftswissenschaften&rft.date=2008&rft.edition=2.&rft.genre=book&rft.pages=45&rft.pub=Springer" style="display:none">

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<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Wolfgang Brauch, Hans-Joachim Dreyer, Wolfhart Haacke: <cite style="font-style:italic">Mathematik für Ingenieure</cite>. Springer, 2013, ISBN 978-3-322-91830-7, S. 658 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=NlclBgAAQBAJ&pg=PA658#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Histogramm&rft.au=Wolfgang+Brauch%2C+Hans-Joachim+Dreyer%2C+Wolfhart+Haacke&rft.btitle=Mathematik+f%C3%BCr+Ingenieure&rft.date=2013&rft.genre=book&rft.isbn=9783322918307&rft.pages=658&rft.pub=Springer" style="display:none">

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<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> David W. Scott: <cite style="font-style:italic">On optimal and data-based histogram</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Biometrika</cite>. Band 3, Nr. 66, 1979, S. 605–610, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1093/biomet%2F66.3.605">10.1093/biomet/66.3.605</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Histogramm&rft.atitle=On+optimal+and+data-based+histogram&rft.au=David+W.+Scott&rft.date=1979&rft.doi=10.1093%2Fbiomet%2F66.3.605&rft.genre=journal&rft.issue=66&rft.jtitle=Biometrika&rft.pages=605-610&rft.volume=3" style="display:none">

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<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> David Freedman, Persi Diaconis: <cite style="font-style:italic">n the histogram as a density estimator: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6a952cfe42c86b7741f55a817da0e251793a358.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.637ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L_{2}}" loading="lazy"> theory</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete</cite>. Band 57, Nr. 4, 1981, S. 453–476, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/BF01025868">10.1007/BF01025868</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Histogramm&rft.atitle=n+the+histogram+as+a+density+estimator%3A++theory&rft.au=David+Freedman%2C+Persi+Diaconis&rft.date=1981&rft.doi=10.1007%2FBF01025868&rft.genre=journal&rft.issue=4&rft.jtitle=Zeitschrift+f%C3%BCr+Wahrscheinlichkeitstheorie+und+verwandte+Gebiete&rft.pages=453-476&rft.volume=57" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-Bortz2005-14">↑ <a href="#cite_ref-Bortz2005_14-0">a</a> <a href="#cite_ref-Bortz2005_14-1">b</a> Jürgen Bortz: <cite style="font-style:italic">Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler</cite>. 6. Auflage. Springer, 2005, S. 31–32.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Histogramm&rft.au=J%C3%BCrgen+Bortz&rft.btitle=Statistik+f%C3%BCr+Human-+und+Sozialwissenschaftler&rft.date=2005&rft.edition=6.&rft.genre=book&rft.pages=31-32&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> David Scott: <cite style="font-style:italic">Multivariate Density Estimation: Theory, Practice, and Visualization</cite>. John Wiley, 1992, ISBN 978-0-471-54770-9.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Histogramm&rft.au=David+Scott&rft.btitle=Multivariate+Density+Estimation%3A+Theory%2C+Practice%2C+and+Visualization&rft.date=1992&rft.genre=book&rft.isbn=9780471547709&rft.pub=John+Wiley" style="display:none">

</li>

/* start https://de.wikipedia.org/ */

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/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20151204140032/https://www.test.de/Das-bedeutet-Histogramm-4270353-0/">Das bedeutet: Histogramm.</a> (<a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a> des <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r250917974">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-position:center right!important;background-repeat:no-repeat!important}body.skin-minerva .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/OOjs_UI_icon_external-link-ltr-progressive.svg")!important;background-size:10px!important;padding-right:13px!important}body.skin-timeless .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a,body.skin-monobook .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/MediaWiki_external_link_icon.svg")!important;padding-right:13px!important}body.skin-vector .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/Link.ernal-small-ltr-progressive.svg")!important;background-size:0.857em!important;padding-right:1em!important}

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</style><a class="external text" href="https://redirecter.toolforge.org/?url=https%3A%2F%2Fwww.test.de%2FDas-bedeutet-Histogramm-4270353-0%2F">Originals</a> vom 4. Dezember 2015 im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.<a rel="nofollow" class="external text" href="http://IABotmemento.invalid/https://www.test.de/Das-bedeutet-Histogramm-4270353-0/">@1</a><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.test.de/Das-bedeutet-Histogramm-4270353-0/">@2</a>Vorlage:Webachiv/IABot/www.test.de <a href="Test.de" title="Test.de">test.de</a>, 25. August 2011; abgerufen am 7. Januar 2013

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<li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> Yannis Ioannidis: <cite style="font-style:italic">The History of Histograms (abridged)</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Proceedings 2003 VLDB Conference</cite>. Morgan Kaufmann, 2003, ISBN 978-0-12-722442-8, S. 19 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/B9780127224428500112">sciencedirect.com</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Histogramm&rft.atitle=The+History+of+Histograms+%28abridged%29&rft.au=Yannis+Ioannidis&rft.btitle=Proceedings+2003+VLDB+Conference&rft.date=2003&rft.genre=book&rft.isbn=9780127224428&rft.pages=19&rft.pub=Morgan+Kaufmann" style="display:none">

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<li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">↑</a> André-Michel Guerry: <cite style="font-style:italic">Essai sur la Statistique Morale de la France</cite>. Paris 1833.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Histogramm&rft.au=Andr%C3%A9-Michel+Guerry&rft.btitle=Essai+sur+la+Statistique+Morale+de+la+France&rft.date=1833&rft.genre=book&rft.place=Paris" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> Yadolah Dodge: <cite style="font-style:italic">The Concise Encyclopedia of Statistics</cite>. Springer, 2008, S. 236–237.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Histogramm&rft.au=Yadolah+Dodge&rft.btitle=The+Concise+Encyclopedia+of+Statistics&rft.date=2008&rft.genre=book&rft.pages=236-237&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-20"><a href="#cite_ref-20">↑</a> Sheldon M. Ross: <cite style="font-style:italic">Introductory Statistics</cite>. 2. Auflage. Elsevier Academic Press, 2005, S. 56–57.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Histogramm&rft.au=Sheldon+M.+Ross&rft.btitle=Introductory+Statistics&rft.date=2005&rft.edition=2.&rft.genre=book&rft.pages=56-57&rft.pub=Elsevier+Academic+Press" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-21"><a href="#cite_ref-21">↑</a> Eileen Magnello: <cite style="font-style:italic">Karl Pearson’s Gresham Lectures: W. F. R. Weldon, Speciation and the Origins of Pearsonian Statistics</cite>. In: <cite style="font-style:italic">The British Journal for the History of Science</cite>. Band 29, Nr. 1. Cambridge University Press, 1996, S. 48.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Histogramm&rft.atitle=Karl+Pearson%E2%80%99s+Gresham+Lectures%3A+W.+F.+R.+Weldon%2C+Speciation+and+the+Origins+of+Pearsonian+Statistics&rft.au=Eileen+Magnello&rft.date=1996&rft.genre=journal&rft.issue=1&rft.jtitle=The+British+Journal+for+the+History+of+Science&rft.pages=48&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.volume=29" style="display:none">

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<li id="cite_note-22"><a href="#cite_ref-22">↑</a> “He explained that the histogram could be used for historical purposes to create blocks of time of ‘charts about reigns or sovereigns or periods of different prime ministers’.” zitiert aus <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.rutherfordjournal.org/article010107.html">The Rutherford Journal</a>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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